Моя версия неоригинальна: Россия давно и стабильно хотела проливы, по крайней мере свободу прохождения Босфором и Дарданеллами русских кораблей и судов и запрет на прохождение своим западноевропейским политикам и конкурентам. А после 1848 года русскому царю взбрело в голову что Турция — "умирающий человек" и пришло время поделить её между соседями, как его бабка поделила Польшу.

Проблема в том, что с ближайшими соседями (Австрией и Пруссией) к 1853 году он незаметно для себя поссорился, а Франция и Великобритания имели в Турции экономические интересы (Левантийская торговля, противодействие русскому влиянию и торговле в Персии и Афганистане) и неожиданно для Николая и Нессельроде* подружились против России. Причем когда первые выстрелы в войне уже были сделаны: русские войска вступили в придунайские княжества, а флот начал бить турок на море.

*) Русский министр внутренних дел той поры Карл Роберт фон Нессельроде.

Вообще-то самого убедительного результата союзники добились на Балтике — взятие Бомарзунда после четырёхдневного штурма.. В любом случае и война и её результат — Парижский договор 1856 года были однозначным поражением России.  Хотя молодецкие подвиги матроса Кошки и героическая оборона Петропавловска-Камчатского затмевают в сознании ура-патриотов потерю Черноморского флота и самоуничтожение вышеупомянутого Петропавловска  в 1855 году, перед повторным набегом союзников.

Но самое главное — вы хотите для Ермака роли и славы Гаврилы Принципа?

России в реальной истории воевать в 1900-1904 годах очень невыгодно, у неё в это время провал боевых возможностей флота, когда конкуренты вовсю вводят новые корабли, а русские ещё только проектируются. Даже в реальной истории русский флот из пяти новых броненосцев серии "Бородино" успел получить лишь четыре к концу войны. В 1899 году Англия имела вдвое больше броненосцев (41 против 20) почти втрое большего тоннажа (541 тыс.тонн против 190). Реальная история показывает, что Российской Империи воевать в начале двадцатого века было противопоказано. Не верите мне — поинтересуйтесь мнением Столыпина.

Но вам охота повоевать при том, что перспективы у России при этом архинеблагоприятные. Если это патриотизм, то Марксе упаси нас от подобных патриотов.