Действительно, несколько противоречивая оценка на первый взгляд:-)  300 тыщщ похоже на общую оценку численности некой окрестной орды (племени, подвластного конкретному мурзе) вместе с женщинами и детьми. 3-4 тысячи, которые выставляют крымчаки - похоже на численность объединённых дружин хана и мурз. Во всяком случае тех, кто всегда под рукой, и могут в любой момент сесть в седло. Скорее всего эти люди имеют прекрасное полноценное вооружение, включая хороший доспех, и хорошо обучены. Но в поход ходили не только они, а по идее, по формальным законам ЛЮБОЙ орды, все свободные мужчины племени. Естественно "конно и оружно", что было исключительно на совести каждого конкретного "мужика" и его мурзы. Во времена великих ханов, за плохую экипировку воинов, могли и взгреть. Со временем дисциплина сильно упала, как  возросло и имущественное расслоение в обществе, и уже далеко не все могли себе позволить нормальное оружие. А некоторые уже и вовсе еле концы с концами сводили. И в последствии уже вовсе не все откликались на призыв хана и мурзы выступать в поход, находя для этого массу оправданий. Всё это накладывалось на общий разброд в ханствах, где многие мурзы начинали своевольничать, и то сами, не спрося никого ходили за зипунами, то отказывались ходить на "политические акции" по призыву хана. Нередко весьма кроваво выясняли отношения между собой. Родоплеменной феодализм во всей красе. Степень сплочённости орды колебалась всё время, и сильно зависела от множества факторов, включая харизму хана и ожидание-лёгкость добычи. В принципе, по косвенным свидетельствам, в большие походы уходила как минимум половина мужчин, вооружённых очень по разному. У кого-то, вовсе НЕ нукера-дружинника, и кожаный доспех был, и сабля приличная. А у кого-то старый рассохшийся лук, да кривое копьё. И сам в жилетке на голое тело. Это если мурза в принципе откликался на призыв хана и собирал людей. В противном случае никто даже не почешется, кроме совсем уж буйных индивидов.

Поэтому Крымская Орда, СОБРАВШАЯСЯ, а это особый процесс, занимающий время, в большой поход, представляла собой зрелище весьма живописное и неоднородное. Были нукеры хана и мурз - отлично вооружённые бойцы. Всё остальное, очень разномастное ополчение, в котором и индивидуальная подготовка была очень разной. Надо помнить, что в ту эпоху у татар каждый мужчина прежде всего воин, который по определению должен самосовершенствоваться в воинском мастерстве. Кто-то к этому относился серьёзно, прекрасно понимая, что в походы ходить придётся, и лучше бы там остаться не только живым, но и с прибытком. И вроде будучи обычным "пастухом" кое-что умел весьма неплохо. Кто-то в силу природной лени, или личных проблем, забивал на всё это, и ничего из себя не представлял. Но не смотря даже на понимание этого, мог податься в поход, надеясь на лёгкую добычу.

Исходя из всего этого, а я надеюсь, что ни для кого не открыл Америку, можно догадаться, что Орда в походе - это по любому довольно большое количество вооружённых людей. Да по разному вооружённых, но в целом, это далеко не крестьяне с вилами. Если говорить именно о Крымской Орде, то это не только степной Крым, но и вся степь от Днепра до Дона, и минимум на 300-400 км на север в ту эпоху. Сами понимаете, что стад там могло пастись не мало, и общий счёт населения шёл минимум на сотни тысяч. Впрочем, при такой комплектации войска и насыщенной жизни, их численность могла довольно сильно колебаться, но также быстро восстанавливаться.

В случае с походом генуэзцев, если подумать, то тоже нет особого противоречия. Расстояния там небольшие, расчёт был на внезапность, а значит  крымский хан по определению не сможет собрать именно Орду. Обнаружив войско на подходе, он выставил, что смог. А именно свою дружину нукеров, нескольких окрестных мурз, ну и соответственно орду-ополчение из ближних кочевий. И совершенно верно, генуэзцы прекрасно знали, что времени у хана не будет собирать войска, а значит против всей Орды им сражаться не придётся. Вот и весь расклад