На самом деле особой натяжки тут нет.
Смотрите на ситуацию со со стороны жителей - существует одновременно два. вроде как законных короля.
За недолгий отрезок времени сменилось аж целых три короля, причем нынешний - не только обладает сомнительными  правами на престол,  но и конкурентом, обладающем примерно равными правами, город пережил войну и голод. Вот жители находящиеся в офигевании от происходящего бардака и стали искать ответы в религии. Однако и после этого воробьи оставались кем то на уровне уличных хулиганов, даже при всей крайне низкой репутации династии.  Кстати, забавная черта всех Ланнистеров - никто из них толком не умел завоевывать любовь окружающих, в отличие от Старков, Тиреллов и части Баратеонов, например. Да тут еще выбыло два лучших управленцы Ланнистеров, вместе с изрядной долей их связей, причем самым позорным для династии образом- один убил отца и любовницу, и возможно - наследника престола, второй был убит сыном в сортире. Это еще больше принижало репутацию династии. и глава разведки сбежал, вдобавок.
Народ устал от войны, Север - истощен и творит какие то собственные дела, Долина так же закуклилась в себе, Владения Баратеонов - так же сильно разорены в плане военной силы. Остались только Тиреллы, но они ничего Воробьям за тот период времени сделать не успели, потому как Воробьев против Тиреллов и раскормили.
Вобщем воробьи появились в тот момент когда на троне сидел маленький мальчик, правила -  недалекая взбалмошеная женщина, авторитет династии - сильно упал, как и ее управленческие ресурсы и связи, половина Вестероса занялась своими внутренними делами и забила на столицу.
И управленец уровня Серсеи решила выкормить монстрика против Тиреллов, сделав в целом, не особо влиятельного священника главой церкви, и вооружив его людей. Но способностей как то контролировать своего подчиненного у ее не оказалось. в результате он сместил Серсею, а с главой Ланнистеров и Тиррелов умудрился как то договориться, так что последние не начали штурмовать септы.
Вообще выглядит так что вся деятельность Его Воробейшества происходила с одобрения Кивана Ланнистера.(тот как раз устроился по сути - правителем Вестероса, во время пленения Серсеи)
Вобщем тут мы имеем не Савнароллу, а скорее амбициозного и популярного Патриарха, пробившегося в регенты к малолетнему царевичу.